جواب کاردرکلاس صفحه 139 ریاضی دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 139 - تمرین 1 سلام! برای تعیین وضعیت یک خط نسبت به یک دایره، بهترین راه این است که **فاصله مرکز دایره تا خط ($d$)** را با **شعاع دایره ($r$)** مقایسه کنیم. **تحلیل قسمت الف:** ابتدا باید مرکز و شعاع دایره $x^2 + y^2 + 2x + 2y - 1 = 0$ را پیدا کنیم. با استفاده از فرمول‌های استاندارد: $h = \frac{-A}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $k = \frac{-B}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ مرکز دایره: $O(-1, -1)$ $r = \sqrt{h^2 + k^2 - C} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 - (-1)} = \sqrt{3}$ حالا فاصله مرکز $O(-1, -1)$ تا خط $x + y - 1 = 0$ را حساب می‌کنیم: $d = \frac{|-1 - 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} \approx 2.12$ چون $\sqrt{3} \approx 1.73$ است، نتیجه می‌گیریم $d > r$. پس در این حالت، **خط و دایره فاقد نقطه مشترک هستند (خط بیرون دایره است)**. **تحلیل قسمت ب:** در معادله $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4$: مرکز دایره $O(2, -3)$ و شعاع $r = 2$ است. خط داده شده $y = -1$ یا همان $y + 1 = 0$ است. فاصله مرکز تا خط: $d = \frac{|-3 + 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = 2$ در اینجا چون $d = r = 2$ است، **خط بر دایره مماس است**.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 139 - تمرین 2 برای نوشتن معادله دایره، به مرکز و شعاع نیاز داریم. مرکز دایره $(h, k)$ را داریم: $C(1, 2)$. **گام اول: یافتن شعاع ($r$)** چون دایره بر خط مماس است، شعاع دایره دقیقاً برابر با **فاصله مرکز تا خط مماس** خواهد بود. فرمول فاصله نقطه $(x_0, y_0)$ از خط $ax + by + c = 0$: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ $r = \frac{|3(1) + 4(2) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$ بنابراین شعاع دایره برابر با **۲** است. **گام دوم: نوشتن معادله استاندارد دایره** با داشتن مرکز $(1, 2)$ و شعاع $r = 2$، معادله به صورت زیر نوشته می‌شود: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ **$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$** این معادله نشان‌دهنده دایره‌ای است که در نقطه تماس، بر خط داده شده عمود است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 139 - تمرین 3 این یک مسئله ترکیبی از هندسه تحلیلی و ویژگی‌های دایره است. برای پیدا کردن شعاع، از یک مثلث قائم‌الزاویه در دایره استفاده می‌کنیم. **گام اول: محاسبه فاصله مرکز تا وتر ($d$)** فاصله مرکز $O(2, -3)$ تا خط $3x - 4y + 2 = 0$ را می‌یابیم: $d = \frac{|3(2) - 4(-3) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 12 + 2|}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$ **گام دوم: استفاده از ویژگی وتر** می‌دانیم خط عمودی که از مرکز بر وتر فرود می‌آید، وتر را نصف می‌کند. چون طول کل وتر ۶ است، نصف آن برابر با **۳** می‌باشد. **گام سوم: یافتن شعاع ($r$) با قضیه فیثاغورس** در مثلث قائم‌الزاویه ایجاد شده، $d$ و نصف وتر، ضلع‌های قائمه و $r$ وتر مثلث است: $r^2 = d^2 + (\frac{L}{2})^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ پس شعاع دایره $r = 5$ است. **گام چهارم: نوشتن معادله دایره** با مرکز $(2, -3)$ و $r^2 = 25$: **$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$**